11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -2(வகை நுண்கணிதம் எல்லைகள் மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மை)

MABS Institution

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -2(வகை நுண்கணிதம் எல்லைகள் மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மை)-Aug 2020

Time : 2.00 Hours

Part - A

Generic 5 - Answer All Question

f பின்வருமாறு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது:

\(f(x)=\begin{cases} 0\quad ;\quad x<0 \\ x\quad ;\quad 0\le x<1\quad \\ -{ x }^{ 2 }+4x-2;\quad 1\le x<3 \\ 4-x\quad ;\quad x\ge 3\quad \end{cases}\)
இந்தச் சார்பு தொடர்ச்சியானதா?

மதிப்பிடுக: \(\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ { \frac { { 4\sqrt { 2 } -(\cos { x } +\sin { x) } }^{ 5 } }{ 1-\sin { 2x } } } } .\)

\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120\) என நிறுவுக.

\(x\rightarrow 0\) எனும்போது பின்வரும் சார்புகளுக்கு எல்லைமதிப்பு உள்ளதா எனக் காண்க?விடைக்கான காரணம் கூறுக.
\((i)\frac { \sin { \left| x \right| } }{ x } \quad (ii)\frac { \sin { x } }{ \left| x \right| } \quad (iii)\frac { x\left\lfloor x \right\rfloor }{ \sin { \left| x \right| } } \quad \quad (iv)\frac { \sin { (x-\left\lfloor x \right\rfloor ) } }{ x-\left\lfloor x \right\rfloor } .\)

பின்வரும் சார்புகளில் எவற்றற்கு \(x={ x }_{ 0 }\)-ல் நீக்கக்கூடிய தொடர்ச்சியற்ற தன்மை உள்ளது எனக் காண்க?தொடர்ச்சியற்ற தன்மை இருக்குமானால், f-ன் \(x\neq { x }_{ 0 }\)-க்கு ஏற்றவாறு R-ல் தொடர்ச்சியாக இருக்குமாறு g என்ற சார்பைக் காண்க.
\((i)f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ x+2 } ,\quad { x }_{ 0 }=-2.\quad \quad (ii)\quad f(x)=\frac { { x }^{ 3 }+64 }{ x+4 } ,\quad { x }_{ 0 }=-4.\quad (iii)f(x)=\frac { 3-\sqrt { x } }{ 9-x } ,\quad { x }_{ 0 }=9.\)

மதிப்பைக் காண்க:\(\lim _{ a\rightarrow 0 }{ { \frac { \sin { { (a) }^{ n } } }{ { (\sin { \alpha ) } }^{ m } } } } \)

பின்வருவனவற்றின் தொடர்ச்சித் தன்மையை ஆராய்க:
\((i)\quad x+\sin { x } (ii)\quad { x }^{ 2 }\cos { x } (iii){ e }^{ x }\tan { x } \quad (iv){ e }^{ 2x }+{ x }^{ 2 }\quad (v)\quad x.\ln { x } \\ (vi)\frac { \sin { x } }{ { x }^{ 2 } } \quad (vii)\frac { { x }^{ 2 }-16 }{ x+14 } \quad (viii)\left| x+2 \right| +\left| x-1 \right| (ix)\frac { \left| x-2 \right| }{ \left| x+1 \right| } \quad (x)\cot { x } +\tan { x } \)

கொடுக்கப்பட்ட சார்புக்குக் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி x_0-இல் தொடர்ச்சியானதா அல்லது தொடர்ச்சியற்றதா எனக் காரணத்துடன் கூறுக .
\((i){ x }_{ 0 }=1,f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-1 }{ x-1 } ,\quad x\neq 1 \\ 2\quad ,\quad x=1 \end{cases}\quad \)
\((ii){ x }_{ 0 }=3,f(x)=\begin{cases} \frac { { x }^{ 2 }-9 }{ x-3 } ,;\quad x\neq 3 \\ 5\quad ,\quad ;\quad x=3 \end{cases}\)

நிறுவுக:
\((i)\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1+2+3+...+n }{ 3{ n }^{ 2 }+7n+2 } =\frac { 1 }{ 6 } } \)
\((ii)\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { { 1 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 }+...+{ (3n) }^{ 2 } }{ (1+2+...+5n)(2n+3) } =\frac { 9 }{ 25 } } \)
\((iii)\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 1.2 } +\frac { 1 }{ 2.3 } +\frac { 1 }{ 3.4 } +...+\frac { 1 }{ n(n+1) } =1 } \)

பின்வரும் சார்புகள் எந்த இடைவெளிகளில் தொடர்ச்சியானது எனக் காண்க.
\((i)\quad f(x)=\tan { x } \quad (ii)g(x)=\begin{cases} \sin { \frac { 1 }{ x } ,\quad x\neq 0 } \\ 0,\quad x=0 \end{cases}\quad \quad (iii)h(x)=\begin{cases} x\sin { \frac { 1 }{ x } ,\quad x\neq 0 } \\ 0,\quad \quad x=0 \end{cases}\)

எல்லை மதிப்பினைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ 7+{ x }^{ 3 } } -\sqrt { 3+{ x }^{ 2 } } }{ x-1 } } \)

மதிப்பைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } }{ \tan { x } } } } \)

பின்வரும் சார்புகளுக்கு இடப்புற,வலப்புற எல்லைகளின் மதிப்பக காண்க.
\((a)\quad x=-2\) -ல் \(f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-4 }{ ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x+3) } \)
\((b)\quad x=\frac { \pi }{ 2 } \)-ல் \(f(x)=\tan { x } \)

ஐன்ஸ்டினின் சார்பியல் கோட்பாட்டின்படி v திசைவேகத்துடன் கூடிய ஒரு பொருளின் நிறை \(m=\frac { { m }_{ 0 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } } } \) , இங்கு m₀ என்பது ஆரம்ப நிறை மற்றும் c என்பது ஒளியின் வேகம், \(v\rightarrow { c }^{ - }\) எனில் m-ல் ஏற்படும் மாற்றம் என்ன? ஏன் இடதுபக்க எல்லை அவசியம்?

\(g(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }-{ b }^{ 2 };\quad x<4 \\ bx+20;\quad x\ge 4 \end{cases}\) என்ற சார்பு \((-\infty ,\infty )\)-ல் தொடர்ச்சியானது எனில் மாறிலி b-ஐக் காண்க.

Comment

Add Comment

InstaQB

Institutions

12th Standard English Medium

12th Standard Tamil Medium

11th Standard English Medium

11th Standard Tamil Medium

10th Standard English Medium

9th Standard English Medium

8th Standard English Medium

7th Standard English Medium

Class XII

Class XI

12Th Standard

11Th Standard

10Th Standard

9Th Standard

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -2(வகை நுண்கணிதம் எல்லைகள் மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மை)

MABS Institution

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -2(வகை நுண்கணிதம் எல்லைகள் மற்றும் தொடர்ச்சித் தன்மை)-Aug 2020

Part - A

Generic 5 - Answer All Question

மதிப்பிடுக: \(\lim _{ x\rightarrow \frac { \pi }{ 4 } }{ { \frac { { 4\sqrt { 2 } -(\cos { x } +\sin { x) } }^{ 5 } }{ 1-\sin { 2x } } } } .\)

\(\lim _{ x\rightarrow { 0 }^{ + } }{ x\left[ \left\lfloor \frac { 1 }{ x } \right\rfloor +\left\lfloor \frac { 2 }{ x } \right\rfloor +...+\left\lfloor \frac { 15 }{ x } \right\rfloor \right] } =120\) என நிறுவுக.

மதிப்பைக் காண்க:\(\lim _{ a\rightarrow 0 }{ { \frac { \sin { { (a) }^{ n } } }{ { (\sin { \alpha ) } }^{ m } } } } \)

எல்லை மதிப்பினைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \sqrt [ 3 ]{ 7+{ x }^{ 3 } } -\sqrt { 3+{ x }^{ 2 } } }{ x-1 } } \)

மதிப்பைக் காண்க:\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ { \frac { \sqrt { 1+\sin { x } } -\sqrt { 1-\sin { x } } }{ \tan { x } } } } \)

\(g(x)=\begin{cases} { x }^{ 2 }-{ b }^{ 2 };\quad x<4 \\ bx+20;\quad x\ge 4 \end{cases}\) என்ற சார்பு \((-\infty ,\infty )\)-ல் தொடர்ச்சியானது எனில் மாறிலி b-ஐக் காண்க.

Comment

Other Study material

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -2(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -2(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -1(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -4(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -3(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -4(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -3(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -1(நிகழ்தகவு கோட்பாடு-

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -1(இருபரிமாண பகுமுறை வ

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -2(இருபரிமாண பகுமுறை வ

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -3(இருபரிமாண பகுமுறை வ

11th கணிதவியல் வாரத் தேர்வு -4(இருபரிமாண பகுமுறை வ

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -1(இருபரிமாண பகுமுறை வ

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -2(இருபரிமாண பகுமுறை வ

11th கணிதவியல் மாதத் தேர்வு -3(இருபரிமாண பகுமுறை வ

Tamilnadu Stateboardszs - Class